구구단만 알아도 미적분... (2. 적분 편)
작성자
GoodKook
작성일
2017-11-30 13:31
조회
4461
구구단만 알아도 미적분... (2. 적분 편)
이전편:
1. 신박한 할인율 계산법 (x^n의 미분법)
2. 구구단만 알아도 미적분... (1. 미분편)
구구단을 다시 생각한다.
구구단과 약간의 수학적 상식만 가지고 미적분을 알아보자고 시작 했는데 좀 어려웠을 지도 모르겠습니다. 미적분 문제를 직접 풀기는 무리더라도 겁낼 건 없다는 것을 기억해주세요. 구구단은 만만한데 미적분은 어렵다고 생각되는 이유는 생각해 봅시다. 사실 구구단도 처음부터 쉽진 않았잖아요.
구구단은 거듭 '덧셈'을 '곱셈'이라는 계산 방식으로 표현한 겁니다. 덧셈은 아주 친숙하고 직관적인 셈법입니다. 그런데 거듭 덧셈을 하려면 본래 연산인 덧셈 외에 더한 횟수를 기억해 두었어야 합니다. 예를 들어 3곱하기 5는 3을 5번 거듭 더하는 것입니다. 3더하기 3은 6, 두번 더했고, 6 더하기 3은 9, 세번 더했고, 9 더하기 3은 12, 네번 더했고, 12 더하기 3은 15. 5번 다 했으니 답은 15 입니다. 덧셈과 동시에 횟수를 기억해 둬야 하므로 머리 쓰기를 조금 더 복잡하게 해야합니다. 이것을 곱셈으로 3곱하기 5는 15, 구구단을 외웠으면 단번에 결과를 얻을 수 있습니다. 수학은 외우는 것이 아니라 원리를 이해 하는 것이라고 하지만 외워 놓으면 그 편하기란 이루 말할 수가 없어요. 그래서 우리는 멋도 모르고 외웠습니다. 나중에 곱셈의 원리를 알고서 구구단을 생각해보니 왜 혼나가며 외웠는지 알 것 같습니다. 이제와서 생각해 보건데, 윽박지르지 말고 원리를 알려 줬더라면 나도 수학을 싫어하진 않았을 것이라며 옛 학창시절의 수학 선생님들을 미워 할지도 모르겠군요. 하지만 그렇게 안했더라면 그나마 구구단도 못 외었을 겁니다.
미분 복습,
곱셈이 덧셈보다 조금더 어려웠던 이유를 어른이 되서 생각해 보게 되었습니다. 그리고 원리를 제대로 알려주질 않아서 그렇지 나도 나쁜 머리는 아니라며 "미적분"이라는 어마어마한 것을 이해해 보기로 덤볐습니다. 막상 지난 두편(1, 2)의 글을 통해 "미분"이란 것을 접해 봤습니다. 구구단만 알면 된다더니 그게 아닌것 같고 또 속은 생각이 들었을지도 모르겠군요. 속은 것이 아닙니다. 덧셈에서 곱셈으로 넘어갈 때 처럼 익숙하지 않은 겁니다. 머리를 조금 더 써야 했던 것 뿐입니다. 미분을 다시 되새겨 봅시다.
미분은 말 그대로 "잘게 자르는" 겁니다. 뭘 잘게 잘라요? "매개변수"를 잘게 자르는 겁니다. "매개변수"는 뭔가요? 함수의 입력으로 줄 값을 기호로 표시한 겁니다. 변수라고 하기도 하죠. F(x)라고 하면 함수의 이름이 F이고 입력으로 줄 값은 x 입니다. 당장은 특정 값이 없지만, 나중에 x에 값을 담아 F라는 이름의 함수에게 일을 시킬 겁니다. 함수가 할 일은 다양한 방법으로 정할 수 있습니다. 컴퓨터 프로그램의 경우 컴퓨터 언어를 이용해 기술하고 수학에서는 수식으로 규정합니다. 예를 들어 함수가 다음과 같은 수식으로 정의되었다고 합시다.
x에 2라는 값을 주고 함수 F에 일을 시키면,
F(2) = -4 입니다. 함수 F(x)에 일을 시킬 때 변수 x 를 값을 담는 도구로 삼겠다고 해서 "매개변수"라고도 합니다. 말하자면 함수와 대화하기 위한 통로(미디어 혹은 매체)라고 하면 되겠군요. 함수의 계산 결과는 입력 x(매개변수)에 담는 값에 달렸습니다. 그래서 F(x)를 "F는 x 의 함수"라고 합니다. 수식만 가지고 F(x)의 움직임을 예측하고 싶습니다. 우리가 수식을 세우는 이유는 예측하고 대비하기 위함 입니다.
우리는 세상에서 일어나는 모든 현상을 체계적으로 보고 싶어 합니다. 우리 주변에서 제멋대로 발생하는 것 같아 보이는 여러 사건들 속에도 어떤 규칙이 있길 바랍니다. 이 규칙에 따라 대비하고 싶은 것이죠. 주가의 등락에 어떤 규칙이 있다면, 그것을 찾아서 수식으로 나타낼 수만 있다면, 생각만 해도 짜릿합니다. 옛날 이집트 사람들은 오랜동안 나일강의 수위를 기록해 두었습니다. 그리고 규칙을 알아내어 홍수를 대비했다고 합니다. 밤하늘을 규칙적으로 방랑하는 저 별 같은 것은 도데체 뭐란 말인가? 저 별의 움직임을 이해하고 싶다. 미신에서 과학으로 옮겨가는 순간입니다.
관찰 기록으로부터 규칙을 찾아내고 싶습니다. 그 규칙을 수식으로 나타고 싶습니다. 미분과 적분의 시작입니다. 시간에 따라 발생하는 현상에서 규칙을 찾는 방법은 변화량의 추이를 관찰 하는 겁니다. 변화량의 "추이"란 곧 시간변화율 입니다. 시간변화율을 이렇게 정의해 봅시다.
시간이 흐름에 따른 변화가 일어 납니다. 시간을 매개변수로 삼고, 변화의 원인을 함수라 합시다. F0를 시간 t0에서 현상이라 하고, F1을 시간 t1에서 나타난 현상이라고 합시다.
시간간격 (t1-t0)의 간격에 따라 현상의 변화가 정확한 것이 아닐 수 있습니다. 함수의 변화가 곡선일 경우 시간간격이 크면 변화율 k는 실제 변화율을 제대로 반영하지 못할 수 있기 때문입니다. 아래 그림처럼 변화율 k는 t0와 t1 중간의 미세한 변화율을 반영한다고 볼 수 없다는 것은 자명해 보입니다.
k는 t0와 t1 사이의 평균 기울기라고 할 수 있습니다. 특정 시점의 사건이 수집된 후 정리할 때나 의미있는 것입니다. 이 기울기는 다른 시점의 기울기를 나타내지 못합니다. 우리가 원했던 예측과 대비를 위한 값으로는 쓸모 없는 값입니다. 함수 F(t)를 파악하지 못했기 때문 입니다. 함수 F(t)는 매우 변화 무쌍하군요.
위에서 시간 변화율을 k 라고 표현해 놓긴 했지만 상수 일 수도 있고 다시 함수 일 수도 있습니다. 아직 F(t)가 무엇인지 명확하지 않다면 좀더 자세히 알아보기 위해 관찰하는 시간의 간격을 아주 작게 잡습니다. 관찰 시간 간격을 극단 적으로 좁혀보기 위해 극한(limit)이라는 개념을 도입해 봅니다. 시간 변화가 아주 작아서 0에 가깝게 접근 하면 현상의 변하는 어떻게 될 것인가를 알아보는 겁니다.
만일 t0시점의 기울기를 알아보고 싶다면 함수 F(t)의 매개변수가 t0에 접근 할 때 극한 값을 구하면 되겠지요.
위의 두가지 극한값 구하는 수식이 바로 "미분의 정의" 입니다. 첫번째 극합값 구하기는 미분의 일반형 이며, 두번째는 특정 시점 t0에서의 기울기 값으로서 "미분계수"라고 합니다.
예를 들어 봅시다. 어떤 함수 F(t) 가 다음과 같습니다.
이 함수의 미분을 구해 봅시다.
뭔가 복잡해 보이지만 그냥 수식의 나열이 길어진 것 뿐입니다. 함수의 매개변수에 t에(t+delta_t)를 대입하여 그냥 풀어놓은 겁니다. 우리가 좋아하는 과학영화를 보면 빽빽히 칠판 가득 써놓은 장면을 볼 때가 있죠. 뭔가 있어보이고 괜시리 주눅 드는데 사실 알고보면 그냥 길게 풀어 놓은 거라고 생각 하세요. 나중에 다 지우고 정리해서(곱하기 나누기는 1로 만들고, 다항식은 0으로 보내고) 몇개 안남겨 놓으려는 수작(과정)입니다. 그렇다고 한눈 팔지는 마시고 집중해 주세요.
수식의 길이에 주눅들지 말고 의미를 찾아보기로 합니다. 만일 delta_t가 0으로 접근 한다면 극한값은 어떻게 되나요? 0/0 의 꼴에 접근하겠지요. 0/0은 있을 수 없습니다. 어떤 수이든 0으로 나눌수 없다는 것이 수학의 대전제 입니다. 이 대전제를 파괴하려고 드는 delta_t를 없애 줘야 합니다. 일단 제곱식을 모두 풀어 헤쳐 봅시다.
정리해 놓으니 뭔가 느낌이 옵니다. 모든 항에 delta_t가 포함되어 있군요! 0/0꼴로 만들게 했던 주범인 분모의 delta_t를 없애버릴 수 있게 되었습니다. 그리고 과감하게 delta_t를 0으로 보내 버리는 겁니다.
이것이 바로 함수 F(t)를 미분해서 얻은 또다른 함수로서 '도함수'라고 부릅니다. 어떤 함수를 미분하면 기울기를 나타내는 것이라고 했습니다. '도함수'는 함수 F(t)의 기울기변화 추이를 나타냅니다. 원래 F(t)가 만만치 않게 복잡했던 까닭에 기울기의 변화 추이 조차 함수의 꼴로 나왔군요. 함수 F(t)의 도함수를 편의상 f(t)라고 합시다. 그럼 기울기의 변화 추이를 살펴보기 위해 f(t)의 개략적 형태(개형)을 그려 보겠습니다. 2차 방정식이니 쉽게 그릴 수 있습니다. 2차 방정식의 풀이는 중학교 과정일 겁니다.
기울기로부터 함수 F(t)의 모양을 추정해 볼 수 있습니다. 기울기가 양수인 구간, 기울기가 음수인 구간, 기울기가 0이 되는 t점, 기울기가 0일 때 함수 값을 찾아낼 수 있습니다.
미분을 일일이 극한으로 표기하기 보다 간단한 방법을 사용합니다. 점을 찍어주면 미분 했다는 의미를 표시하기도 합니다.
매번 위와 같이 극한 값을 계산하기는 매우 번거롭습니다. 그래서 미분 공식을 만들어 냈습니다. 이 공식이 유도되는 과정은 앞서 이미 살펴 본 바 있지요(신박한 할인율 계산법). 이제 원리를 알았으니 외워도 좋습니다. 외우기 싫으시다면 매번 지루한 극한값 구하기 과정을 실시해야 합니다. 구구단을 외우지 못했다면 거듭 덧셈을 하면 되듯이.
이제 미분 공식을 적용해보죠. 거듭 제곱식의 미분 공식을 활용하면 이렇게 간단한데 너무나 놀랄 겁니다. 구구단을 외우는 만큼 미분 공식도 외운 보람이 있죠.
적분 공식은 함수 꼴에 따라 몇가지 더 있습니다. 지수함수의 미분, 로그함수의 미분, 삼각 함수의 미분이 있습니다. 지수 함수의 미분에 대해서는 앞서 미분편에서도 소개되었습니다.
그외 함수의 미분은 앞으로 필요할 때마다 다뤄 보겠습니다.
적분,
적분을 공부하기로 해놓고 미분 복습을 너무 길게 한 데에는 이유가 있습니다. 적분과 미분은 마치 덧셈과 뺄셈의 관계 만큼이나 가깝기 때문입니다. 미분을 역으로 하면 적분입니다.
적분은 말 그대로 하자면, 잘게 자른 것을 "쌓아놓다"는 뜻입니다. 잘게 잘라놓은 것을 누적시키다 보니 함수와 좌표축에 둘러 쌓인 면적을 구하는 것과 같은 의미를 갖게 되었습니다. 하지만, 함수가 그려놓은 면적은 단순하지 않습니다. 함수 f(t)가 그리는 궤적이 매개변수 t에 따라서 시시각각으로 변화하기 때문 입니다. 즉, '적분'이 면적을 구한다는 것 보다, 그 면적을 만들어 내는 함수를 유도하는 과정이라는 것에 주목해야 합니다.
매개변수 t와 함수 f(t)의 공간에서 궤적을 생각해 봅시다. 시작점 t=a에서 t=b사이의 면적을 구하려고 합니다. a 와 b 사이의 간격을 잘게, 등간격으로 나눈 후 이 작은 사각형 조각을 모두 더하면 면적의 근사값이 되겠지요.
면적의 오차를 줄이려면 나눈 간격을 매우 좁히면 됩니다. 간격을 매우 좁힌다는 의미로 미분에서도 썼던 극한(limit)의 개념을 적용해 봅니다. 이것이 적분의 정의 입니다. 그리고, 극한 표기법을 단순화한 적분 기호입니다.
면적을 구할 범위가 결정된 경우 정적분이라 합니다. 구간이 정해진 면적은 (유한한)값으로 계산 됩니다. 위의 식에서 처럼 A 라고 표현된 값입니다. 만일 적분의 구간이 지금 당장 정해지지 않고 변수라면 값 A가 아닌 함수로 표현 될 것입니다. 면적의 함수를 F라 하고 매개변수를 T로 놓도록 합니다. 적분 구간의 시작점과 종점을 모두 변수로 놓으면 복잡해 집니다. 그냥 시점은 상수 a 로 두고 종점만 T라는 변수로 삼기로 합니다. 이제 면적의 함수는 F(T) 입니다.
변수로 놓은 T는 결국 t 상의 한 값입니다. 정적분에서 적분 구간을 특정하지 않고 변수로 일반화한 것을 부정적분 이라고 하며 이렇게 표시합니다. 그리고 미분과 적분의 관계는 앞서 서로 역관계가 있습니다.
미분과 적분이 서로 역관계에 있다는 것을 살펴 보면 이렇습니다. 함수가 그리는 궤적과 면적의 관계를 다시 살펴 봅시다. 적분 구간 T가 delta_t 만큼 늘어나면 면적도 F(T+delta_t) 만큼 늘어 납니다.
미세한 적분 구간 delta_t에 따라 증가하는 면적 delta_F의 비율을 따져봅시다. 과학자들은 왜 이런걸 사사껀껀 따져보고 싶은 걸까요. 일단 이런 의문은 가슴에 품어두기로 합니다. 우리는 앞서 매개변수의 변화량과 함수의 변화 비율을 따져 본 적이 있습니다. 바로 미분의 원리를 배울 때 였습니다. 적분을 공부하면서 이것을 따져 보려고 하는 것은 미분과 어떤 관계를 맺어주고 싶기 때문 일 거란 걸 짐작 할 수 있습니다.
위에서 적분 구간이 T에서 delta_t만큼 늘어날 경우 면적 변화비를 구해 봤습니다. 이제 일반화를 위해 알고 있는 적분 구간 T 대신 변수 t 로 바꿀 수 있습니다. 모든 지점에서 면적 변화 비를 구하고자 하는 겁니다. 증가하는 면적분이 delta_F에서 delta_F(t)로 역시 t 의 함수가 될 것입니다.
면적의 미세 변화비율을 미분을 정의 할 때처럼 delta_t를 0으로 보내는 극한을 취하면 이렇습니다.
뭔가 마법이 벌어진 것인가요? 면적 함수 F(t)를 미분하면 궤적을 그린 함수 f(t)가 됩니다. 다시한번 미분과 적분의 관계를 상기해 봅시다. 궤적을 그린 함수 f(t)를 적분하면 면적 함수 F(t)가 됩니다. 이것을 보고 미분과 적분은 서로 역의 관계가 있다고 합니다.
미적분을 함께 생각한다.
적분을 시작할 때 미분과 적분은 서로 떨어질 수 없는 관계라는 것을 밝힌바 있습니다. 그리고 미적분을 정의 할 때 함수의 매개변수와 그 극한값을 따지는 것이 가장 중요한 요소 였다는 점을 기억해 두시기 바랍니다. 어쩌면 함수 그자체 보다는 무엇을 매개로 삼을 것인지 찾는 것이 문제를 푸는 열쇄라는 것을 알게 될 것입니다.
수학으로 자연현상을 이해하다,
자연현상을 수학으로 이해 하겠다는 말을 합니다. 여기에 동원되는 수학이 바로 "미적분" 입니다. "미분"은 함수로부터 변화율(기울기)을 얻는 것입니다. 미분을 통해 현상을 분석 해 낼 수 있습니다. 미분을 통해 예측 할 수도 있습니다. 움직이는 물체의 운동 방정식을 미분하면 이 물체가 가속운동을 하는지, 등속운동을 하는지 또는 언재 어느곳에서 멈출지 알 수 있습니다. "적분"은 변화율로부터 원래 함수식을 얻는 것입니다. 관찰로부터 현상의 원인인 함수를 얻어냅니다. 관찰기록을 가지고 그 현상을 잃으킨 요인을 구할 수 있습니다.
이렇게 미분과 적분은 서로 직접적인 관계가 있습니다. 적분은 미분을 거꾸로 하는 것입니다. 미분은 적분을 거꾸로 하는 것입니다. 적분 방정식을 풀기위해 미분 합니다. 미분으로 표현된 방정식을 풀기 위해 적분 합니다.
현상을 직접 관측 할 수 없다면 과학적 근거를 바탕으로 가정을 세우고 이에 합당한 방정식을 만듭니다. "관측 할 수 없다"는 의미는 관측 장치의 기술적 오차 혹은 그런 현상을 상상도 해보지 못했다는 사고의 한계로 인해 관측 장치가 없을 수도 있지요. 있는지 없는지도 모르는 현상을 측정할 수 있는 장비란 존재하지 않을 테니까요.
현상을 이론적으로 예측하여 미분 방정식을 만듭니다. 이 미분 방정식을 적분하여 함수를 구합니다. 이렇게 풀어낸 함수는 실험의 조건(범위)을 제공합니다. 이 조건은 실험장치의 설계도가 되어 정교하고도 합당한 관측 장비를 만들 수 있게 됩니다. 이 정교한 장비로 측정해 봄으로서 가설을 세운 이론이 증명 되는 것입니다.
기발한 상상으로 이론을 만들어 방정식을 세워 놓으면 누군가 이를 풀겠다고 덤벼듭니다. 풀수 없는 방정식은 소위 "아무말 대잔치"나 다름 없습니다. 따라서 처음 이론이 등장하면 쉽게 받아 들여지지 않는 이유 이기도 하죠. 또 누군가 실험을 해볼 겁니다. 이렇게 해서 우리는 우주를 이해 하는데 한걸음 더 들어갈 수 있게 되겠지요. 기발한 상상력으로 방정식을 세운 사람을 흔히 천재라고 하죠. 상대성 이론의 장 방정식이 바로 특수한 모양의 미분 방정식 입니다. 어느 천재가 이 방정식을 상상해 냈으며, 영민한 수학자는 이를 적분하여 풀었고 집념의 실험자들이 증명해 냈습니다. 그러느라 100년이 걸렸고 여전히 진행 중이라고 합니다.
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1. 신박한 할인율 계산법 (x^n의 미분법)
2. 구구단만 알아도 미적분... (1. 미분편)
구구단을 다시 생각한다.
구구단과 약간의 수학적 상식만 가지고 미적분을 알아보자고 시작 했는데 좀 어려웠을 지도 모르겠습니다. 미적분 문제를 직접 풀기는 무리더라도 겁낼 건 없다는 것을 기억해주세요. 구구단은 만만한데 미적분은 어렵다고 생각되는 이유는 생각해 봅시다. 사실 구구단도 처음부터 쉽진 않았잖아요.
구구단은 거듭 '덧셈'을 '곱셈'이라는 계산 방식으로 표현한 겁니다. 덧셈은 아주 친숙하고 직관적인 셈법입니다. 그런데 거듭 덧셈을 하려면 본래 연산인 덧셈 외에 더한 횟수를 기억해 두었어야 합니다. 예를 들어 3곱하기 5는 3을 5번 거듭 더하는 것입니다. 3더하기 3은 6, 두번 더했고, 6 더하기 3은 9, 세번 더했고, 9 더하기 3은 12, 네번 더했고, 12 더하기 3은 15. 5번 다 했으니 답은 15 입니다. 덧셈과 동시에 횟수를 기억해 둬야 하므로 머리 쓰기를 조금 더 복잡하게 해야합니다. 이것을 곱셈으로 3곱하기 5는 15, 구구단을 외웠으면 단번에 결과를 얻을 수 있습니다. 수학은 외우는 것이 아니라 원리를 이해 하는 것이라고 하지만 외워 놓으면 그 편하기란 이루 말할 수가 없어요. 그래서 우리는 멋도 모르고 외웠습니다. 나중에 곱셈의 원리를 알고서 구구단을 생각해보니 왜 혼나가며 외웠는지 알 것 같습니다. 이제와서 생각해 보건데, 윽박지르지 말고 원리를 알려 줬더라면 나도 수학을 싫어하진 않았을 것이라며 옛 학창시절의 수학 선생님들을 미워 할지도 모르겠군요. 하지만 그렇게 안했더라면 그나마 구구단도 못 외었을 겁니다.
미분 복습,
곱셈이 덧셈보다 조금더 어려웠던 이유를 어른이 되서 생각해 보게 되었습니다. 그리고 원리를 제대로 알려주질 않아서 그렇지 나도 나쁜 머리는 아니라며 "미적분"이라는 어마어마한 것을 이해해 보기로 덤볐습니다. 막상 지난 두편(1, 2)의 글을 통해 "미분"이란 것을 접해 봤습니다. 구구단만 알면 된다더니 그게 아닌것 같고 또 속은 생각이 들었을지도 모르겠군요. 속은 것이 아닙니다. 덧셈에서 곱셈으로 넘어갈 때 처럼 익숙하지 않은 겁니다. 머리를 조금 더 써야 했던 것 뿐입니다. 미분을 다시 되새겨 봅시다.
미분은 말 그대로 "잘게 자르는" 겁니다. 뭘 잘게 잘라요? "매개변수"를 잘게 자르는 겁니다. "매개변수"는 뭔가요? 함수의 입력으로 줄 값을 기호로 표시한 겁니다. 변수라고 하기도 하죠. F(x)라고 하면 함수의 이름이 F이고 입력으로 줄 값은 x 입니다. 당장은 특정 값이 없지만, 나중에 x에 값을 담아 F라는 이름의 함수에게 일을 시킬 겁니다. 함수가 할 일은 다양한 방법으로 정할 수 있습니다. 컴퓨터 프로그램의 경우 컴퓨터 언어를 이용해 기술하고 수학에서는 수식으로 규정합니다. 예를 들어 함수가 다음과 같은 수식으로 정의되었다고 합시다.
x에 2라는 값을 주고 함수 F에 일을 시키면,
F(2) = -4 입니다. 함수 F(x)에 일을 시킬 때 변수 x 를 값을 담는 도구로 삼겠다고 해서 "매개변수"라고도 합니다. 말하자면 함수와 대화하기 위한 통로(미디어 혹은 매체)라고 하면 되겠군요. 함수의 계산 결과는 입력 x(매개변수)에 담는 값에 달렸습니다. 그래서 F(x)를 "F는 x 의 함수"라고 합니다. 수식만 가지고 F(x)의 움직임을 예측하고 싶습니다. 우리가 수식을 세우는 이유는 예측하고 대비하기 위함 입니다.
우리는 세상에서 일어나는 모든 현상을 체계적으로 보고 싶어 합니다. 우리 주변에서 제멋대로 발생하는 것 같아 보이는 여러 사건들 속에도 어떤 규칙이 있길 바랍니다. 이 규칙에 따라 대비하고 싶은 것이죠. 주가의 등락에 어떤 규칙이 있다면, 그것을 찾아서 수식으로 나타낼 수만 있다면, 생각만 해도 짜릿합니다. 옛날 이집트 사람들은 오랜동안 나일강의 수위를 기록해 두었습니다. 그리고 규칙을 알아내어 홍수를 대비했다고 합니다. 밤하늘을 규칙적으로 방랑하는 저 별 같은 것은 도데체 뭐란 말인가? 저 별의 움직임을 이해하고 싶다. 미신에서 과학으로 옮겨가는 순간입니다.
관찰 기록으로부터 규칙을 찾아내고 싶습니다. 그 규칙을 수식으로 나타고 싶습니다. 미분과 적분의 시작입니다. 시간에 따라 발생하는 현상에서 규칙을 찾는 방법은 변화량의 추이를 관찰 하는 겁니다. 변화량의 "추이"란 곧 시간변화율 입니다. 시간변화율을 이렇게 정의해 봅시다.
시간이 흐름에 따른 변화가 일어 납니다. 시간을 매개변수로 삼고, 변화의 원인을 함수라 합시다. F0를 시간 t0에서 현상이라 하고, F1을 시간 t1에서 나타난 현상이라고 합시다.
시간간격 (t1-t0)의 간격에 따라 현상의 변화가 정확한 것이 아닐 수 있습니다. 함수의 변화가 곡선일 경우 시간간격이 크면 변화율 k는 실제 변화율을 제대로 반영하지 못할 수 있기 때문입니다. 아래 그림처럼 변화율 k는 t0와 t1 중간의 미세한 변화율을 반영한다고 볼 수 없다는 것은 자명해 보입니다.
k는 t0와 t1 사이의 평균 기울기라고 할 수 있습니다. 특정 시점의 사건이 수집된 후 정리할 때나 의미있는 것입니다. 이 기울기는 다른 시점의 기울기를 나타내지 못합니다. 우리가 원했던 예측과 대비를 위한 값으로는 쓸모 없는 값입니다. 함수 F(t)를 파악하지 못했기 때문 입니다. 함수 F(t)는 매우 변화 무쌍하군요.
위에서 시간 변화율을 k 라고 표현해 놓긴 했지만 상수 일 수도 있고 다시 함수 일 수도 있습니다. 아직 F(t)가 무엇인지 명확하지 않다면 좀더 자세히 알아보기 위해 관찰하는 시간의 간격을 아주 작게 잡습니다. 관찰 시간 간격을 극단 적으로 좁혀보기 위해 극한(limit)이라는 개념을 도입해 봅니다. 시간 변화가 아주 작아서 0에 가깝게 접근 하면 현상의 변하는 어떻게 될 것인가를 알아보는 겁니다.
만일 t0시점의 기울기를 알아보고 싶다면 함수 F(t)의 매개변수가 t0에 접근 할 때 극한 값을 구하면 되겠지요.
위의 두가지 극한값 구하는 수식이 바로 "미분의 정의" 입니다. 첫번째 극합값 구하기는 미분의 일반형 이며, 두번째는 특정 시점 t0에서의 기울기 값으로서 "미분계수"라고 합니다.
예를 들어 봅시다. 어떤 함수 F(t) 가 다음과 같습니다.
이 함수의 미분을 구해 봅시다.
뭔가 복잡해 보이지만 그냥 수식의 나열이 길어진 것 뿐입니다. 함수의 매개변수에 t에(t+delta_t)를 대입하여 그냥 풀어놓은 겁니다. 우리가 좋아하는 과학영화를 보면 빽빽히 칠판 가득 써놓은 장면을 볼 때가 있죠. 뭔가 있어보이고 괜시리 주눅 드는데 사실 알고보면 그냥 길게 풀어 놓은 거라고 생각 하세요. 나중에 다 지우고 정리해서(곱하기 나누기는 1로 만들고, 다항식은 0으로 보내고) 몇개 안남겨 놓으려는 수작(과정)입니다. 그렇다고 한눈 팔지는 마시고 집중해 주세요.
수식의 길이에 주눅들지 말고 의미를 찾아보기로 합니다. 만일 delta_t가 0으로 접근 한다면 극한값은 어떻게 되나요? 0/0 의 꼴에 접근하겠지요. 0/0은 있을 수 없습니다. 어떤 수이든 0으로 나눌수 없다는 것이 수학의 대전제 입니다. 이 대전제를 파괴하려고 드는 delta_t를 없애 줘야 합니다. 일단 제곱식을 모두 풀어 헤쳐 봅시다.
정리해 놓으니 뭔가 느낌이 옵니다. 모든 항에 delta_t가 포함되어 있군요! 0/0꼴로 만들게 했던 주범인 분모의 delta_t를 없애버릴 수 있게 되었습니다. 그리고 과감하게 delta_t를 0으로 보내 버리는 겁니다.
이것이 바로 함수 F(t)를 미분해서 얻은 또다른 함수로서 '도함수'라고 부릅니다. 어떤 함수를 미분하면 기울기를 나타내는 것이라고 했습니다. '도함수'는 함수 F(t)의 기울기변화 추이를 나타냅니다. 원래 F(t)가 만만치 않게 복잡했던 까닭에 기울기의 변화 추이 조차 함수의 꼴로 나왔군요. 함수 F(t)의 도함수를 편의상 f(t)라고 합시다. 그럼 기울기의 변화 추이를 살펴보기 위해 f(t)의 개략적 형태(개형)을 그려 보겠습니다. 2차 방정식이니 쉽게 그릴 수 있습니다. 2차 방정식의 풀이는 중학교 과정일 겁니다.
기울기로부터 함수 F(t)의 모양을 추정해 볼 수 있습니다. 기울기가 양수인 구간, 기울기가 음수인 구간, 기울기가 0이 되는 t점, 기울기가 0일 때 함수 값을 찾아낼 수 있습니다.
미분을 일일이 극한으로 표기하기 보다 간단한 방법을 사용합니다. 점을 찍어주면 미분 했다는 의미를 표시하기도 합니다.
매번 위와 같이 극한 값을 계산하기는 매우 번거롭습니다. 그래서 미분 공식을 만들어 냈습니다. 이 공식이 유도되는 과정은 앞서 이미 살펴 본 바 있지요(신박한 할인율 계산법). 이제 원리를 알았으니 외워도 좋습니다. 외우기 싫으시다면 매번 지루한 극한값 구하기 과정을 실시해야 합니다. 구구단을 외우지 못했다면 거듭 덧셈을 하면 되듯이.
이제 미분 공식을 적용해보죠. 거듭 제곱식의 미분 공식을 활용하면 이렇게 간단한데 너무나 놀랄 겁니다. 구구단을 외우는 만큼 미분 공식도 외운 보람이 있죠.
적분 공식은 함수 꼴에 따라 몇가지 더 있습니다. 지수함수의 미분, 로그함수의 미분, 삼각 함수의 미분이 있습니다. 지수 함수의 미분에 대해서는 앞서 미분편에서도 소개되었습니다.
그외 함수의 미분은 앞으로 필요할 때마다 다뤄 보겠습니다.
적분,
적분을 공부하기로 해놓고 미분 복습을 너무 길게 한 데에는 이유가 있습니다. 적분과 미분은 마치 덧셈과 뺄셈의 관계 만큼이나 가깝기 때문입니다. 미분을 역으로 하면 적분입니다.
적분은 말 그대로 하자면, 잘게 자른 것을 "쌓아놓다"는 뜻입니다. 잘게 잘라놓은 것을 누적시키다 보니 함수와 좌표축에 둘러 쌓인 면적을 구하는 것과 같은 의미를 갖게 되었습니다. 하지만, 함수가 그려놓은 면적은 단순하지 않습니다. 함수 f(t)가 그리는 궤적이 매개변수 t에 따라서 시시각각으로 변화하기 때문 입니다. 즉, '적분'이 면적을 구한다는 것 보다, 그 면적을 만들어 내는 함수를 유도하는 과정이라는 것에 주목해야 합니다.
매개변수 t와 함수 f(t)의 공간에서 궤적을 생각해 봅시다. 시작점 t=a에서 t=b사이의 면적을 구하려고 합니다. a 와 b 사이의 간격을 잘게, 등간격으로 나눈 후 이 작은 사각형 조각을 모두 더하면 면적의 근사값이 되겠지요.
면적의 오차를 줄이려면 나눈 간격을 매우 좁히면 됩니다. 간격을 매우 좁힌다는 의미로 미분에서도 썼던 극한(limit)의 개념을 적용해 봅니다. 이것이 적분의 정의 입니다. 그리고, 극한 표기법을 단순화한 적분 기호입니다.
면적을 구할 범위가 결정된 경우 정적분이라 합니다. 구간이 정해진 면적은 (유한한)값으로 계산 됩니다. 위의 식에서 처럼 A 라고 표현된 값입니다. 만일 적분의 구간이 지금 당장 정해지지 않고 변수라면 값 A가 아닌 함수로 표현 될 것입니다. 면적의 함수를 F라 하고 매개변수를 T로 놓도록 합니다. 적분 구간의 시작점과 종점을 모두 변수로 놓으면 복잡해 집니다. 그냥 시점은 상수 a 로 두고 종점만 T라는 변수로 삼기로 합니다. 이제 면적의 함수는 F(T) 입니다.
변수로 놓은 T는 결국 t 상의 한 값입니다. 정적분에서 적분 구간을 특정하지 않고 변수로 일반화한 것을 부정적분 이라고 하며 이렇게 표시합니다. 그리고 미분과 적분의 관계는 앞서 서로 역관계가 있습니다.
미분과 적분이 서로 역관계에 있다는 것을 살펴 보면 이렇습니다. 함수가 그리는 궤적과 면적의 관계를 다시 살펴 봅시다. 적분 구간 T가 delta_t 만큼 늘어나면 면적도 F(T+delta_t) 만큼 늘어 납니다.
미세한 적분 구간 delta_t에 따라 증가하는 면적 delta_F의 비율을 따져봅시다. 과학자들은 왜 이런걸 사사껀껀 따져보고 싶은 걸까요. 일단 이런 의문은 가슴에 품어두기로 합니다. 우리는 앞서 매개변수의 변화량과 함수의 변화 비율을 따져 본 적이 있습니다. 바로 미분의 원리를 배울 때 였습니다. 적분을 공부하면서 이것을 따져 보려고 하는 것은 미분과 어떤 관계를 맺어주고 싶기 때문 일 거란 걸 짐작 할 수 있습니다.
위에서 적분 구간이 T에서 delta_t만큼 늘어날 경우 면적 변화비를 구해 봤습니다. 이제 일반화를 위해 알고 있는 적분 구간 T 대신 변수 t 로 바꿀 수 있습니다. 모든 지점에서 면적 변화 비를 구하고자 하는 겁니다. 증가하는 면적분이 delta_F에서 delta_F(t)로 역시 t 의 함수가 될 것입니다.
면적의 미세 변화비율을 미분을 정의 할 때처럼 delta_t를 0으로 보내는 극한을 취하면 이렇습니다.
뭔가 마법이 벌어진 것인가요? 면적 함수 F(t)를 미분하면 궤적을 그린 함수 f(t)가 됩니다. 다시한번 미분과 적분의 관계를 상기해 봅시다. 궤적을 그린 함수 f(t)를 적분하면 면적 함수 F(t)가 됩니다. 이것을 보고 미분과 적분은 서로 역의 관계가 있다고 합니다.
미적분을 함께 생각한다.
적분을 시작할 때 미분과 적분은 서로 떨어질 수 없는 관계라는 것을 밝힌바 있습니다. 그리고 미적분을 정의 할 때 함수의 매개변수와 그 극한값을 따지는 것이 가장 중요한 요소 였다는 점을 기억해 두시기 바랍니다. 어쩌면 함수 그자체 보다는 무엇을 매개로 삼을 것인지 찾는 것이 문제를 푸는 열쇄라는 것을 알게 될 것입니다.
수학으로 자연현상을 이해하다,
자연현상을 수학으로 이해 하겠다는 말을 합니다. 여기에 동원되는 수학이 바로 "미적분" 입니다. "미분"은 함수로부터 변화율(기울기)을 얻는 것입니다. 미분을 통해 현상을 분석 해 낼 수 있습니다. 미분을 통해 예측 할 수도 있습니다. 움직이는 물체의 운동 방정식을 미분하면 이 물체가 가속운동을 하는지, 등속운동을 하는지 또는 언재 어느곳에서 멈출지 알 수 있습니다. "적분"은 변화율로부터 원래 함수식을 얻는 것입니다. 관찰로부터 현상의 원인인 함수를 얻어냅니다. 관찰기록을 가지고 그 현상을 잃으킨 요인을 구할 수 있습니다.
이렇게 미분과 적분은 서로 직접적인 관계가 있습니다. 적분은 미분을 거꾸로 하는 것입니다. 미분은 적분을 거꾸로 하는 것입니다. 적분 방정식을 풀기위해 미분 합니다. 미분으로 표현된 방정식을 풀기 위해 적분 합니다.
현상을 직접 관측 할 수 없다면 과학적 근거를 바탕으로 가정을 세우고 이에 합당한 방정식을 만듭니다. "관측 할 수 없다"는 의미는 관측 장치의 기술적 오차 혹은 그런 현상을 상상도 해보지 못했다는 사고의 한계로 인해 관측 장치가 없을 수도 있지요. 있는지 없는지도 모르는 현상을 측정할 수 있는 장비란 존재하지 않을 테니까요.
현상을 이론적으로 예측하여 미분 방정식을 만듭니다. 이 미분 방정식을 적분하여 함수를 구합니다. 이렇게 풀어낸 함수는 실험의 조건(범위)을 제공합니다. 이 조건은 실험장치의 설계도가 되어 정교하고도 합당한 관측 장비를 만들 수 있게 됩니다. 이 정교한 장비로 측정해 봄으로서 가설을 세운 이론이 증명 되는 것입니다.
기발한 상상으로 이론을 만들어 방정식을 세워 놓으면 누군가 이를 풀겠다고 덤벼듭니다. 풀수 없는 방정식은 소위 "아무말 대잔치"나 다름 없습니다. 따라서 처음 이론이 등장하면 쉽게 받아 들여지지 않는 이유 이기도 하죠. 또 누군가 실험을 해볼 겁니다. 이렇게 해서 우리는 우주를 이해 하는데 한걸음 더 들어갈 수 있게 되겠지요. 기발한 상상력으로 방정식을 세운 사람을 흔히 천재라고 하죠. 상대성 이론의 장 방정식이 바로 특수한 모양의 미분 방정식 입니다. 어느 천재가 이 방정식을 상상해 냈으며, 영민한 수학자는 이를 적분하여 풀었고 집념의 실험자들이 증명해 냈습니다. 그러느라 100년이 걸렸고 여전히 진행 중이라고 합니다.
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