1.2 뉴튼역학:자유낙하
작성자
GoodKook
작성일
2018-02-01 19:56
조회
14061
1.2 뉴튼역학:자유낙하
"단위"와 "차원"의 이해를 넓혀보자. 다음은 무게를 가진 물체가 높은 곳에서 아무런 방해없이-공기저항도 없다- 떨어지는 '자유낙하(free fall)'에 관한 문제를 기술한 글이다.
문제 1.3 미적분으로 풀기
정지해 있던 공이 높이 h 미터에서 낙하하여 초당 v 미터의 속도로 지면에 추락 하였다. 이 공의 지면 충돌속도를 구하여라. 중력가속도는 초의 제곱분의 g 미터 이며 공기저항은 무시한다.
문제의 기술에서 값 h, v, g와 "단위"를 굵은 글씨로 나타내었다. 단위는 모두 미터 이다. "차원"을 무시하고 단지 "단위"만을 기술하는 것은 중대한 오류를 야기한다. 높이는 미터라는 단위이지만, 속도는 시간 당 미터로 차원으로 나타내어야 한다. 가속도 또한 시간제곱 당 미터로 표현되는 차원이다. 차원을 감안하지 않고 문제를 푸는 것은 마치 한 팔을 뒤로 묶고 전장에 나서는 것과 같다. 차원은 길거리에 나가 [마구잡이]로 수학을 써먹을 때 사용할 수 있는 중요한 도구중 하나다.
다시 문제로 돌아가 보자. 자유낙하 하는 물체의 운동이다. 어느 높이에서 질량을 가진 물체를 놓으면, 이 물체는 방해받지 않고 떨어진다. 이 자유낙하라는 사건이 벌어진 상황(원인)을 살펴보자.
(1) 떨어지는 원인은 중력이 끌어 당기기 때문이다. 중력가속도가 작용한다.
(2) 시간이 지나면 높이가 달라진다. 변위(높이)는 시간의 함수다. y(t)라 하자.
(3) 초기조건이 있다.
공이 지면에 닿는 순간 이 물체의 속도를 구하는 문제다. 사건의 초기조건부터 따져보자. 초기조건이란 사건이 시작된 시간, 즉, 공을 놓는 순간을 t=0 으로 하였을 때 공의 상태를 말한다. 자유낙하의 초기조건은 다음과 같다.
(i) 공은 높이 y(0) = h에 있다.
(ii) 공은 정지해 있었으므로 속도는 v(0) = 0 이다.
공을 놓자마자 속도를 내며 떨어진다. 공의 움직임(현상)을 순간적으로 포착하여 운동을 파악(방정식을 얻는 것)하기로 한다. 순간적인 변화를 기술하는 방법은 이미 알고 있는 대로 미분이다.
순간적인 속도의 변화를 의미하는 것이므로 함수 f(t)에 시간에 대한 속도의 함수 v(t)를 적용해 보자.
d/dt 는 lim... 로 표현해 놓기 번거로우니 줄여서 표기한 것으로 미분기호(연산자)라 한다. 이것은 미분의 개념으로 운동의 순간적인 현상을 단지 기술한 것 뿐이다. 운동을 파악하기 위해서 방정식이 있어야 한다. 방정식의 의미를 잠시 짚어보고 가자.
변수, 항등식, 방정식
여기에 변수 x 가 있다. 이것은 그저 변수의 선언일 뿐이다. 변수의 속성에 맞는 무슨 값이든 대입할 수 있다.
다음은 항등식이다. 좌변과 우면이 완벽히 동일하다. 변수 x에 무슨 값을 넣든 좌우는 같다. 항상 같다. 그래서 항등식이다.
이제 방정식이다. 좌변과 우변이 다르다. 등호의 좌변에 어떤 연산(아래의 예에서는 3 곱하기)을 하였더니 우변과 같은 값이 나오는 관계를 나타낸 것이다. 등호를 만족 시킬 수 있는 변수 x 의 값은 유한하다. 1차 방정식 3x-2=0을 만족하는 변수 x는 단 한개다.
등호를 만족 시키는 변수 x 를 구하는 행위를 방정식을 풀어 해를 구한다고 한다. 곱셈과 나눗셈은 서로 역관계에 있는 연산이다. 나눗셈을 써서 방정식에서 곱셈의 조작(연산)을 풀어 내도록 하자.
결국 방정식의 해를 구했다.
좀더 복잡한 2차 방정식을 보자.
이 방정식을 풀어 등호를 만족 시키는 변수 x를 구해보자. 이차 방정식을 만족하는 해는 최대 두개다. 이 방정식을 만족하는 값 x를 직접 구하기는 어렵다. 두개의 일차 방정식으로 묶어보자. 인수분해라는 것이다.
이차 방정식이 두개의 일차 방정식의 곱이 되었다. 일차 방정식이 성립하는 값 x를 구하자. 곱셈만 풀어주면 되는 일차방정식의 해를 구하기는 쉽다.
이 이차 방정식은 두개의 해를 갖는다.
방정식과 방정식 풀기 그리고 해의 개념을 이해했다.
다시 자유낙하 문제로 돌아가 보자. 속도를 알고 싶은데 방정식이 있어야 풀던 말던 해볼 것이 아닌가.
자유낙하 문제에서 중력 가속도가 g로 주어졌다. 가속도와 속도는 미분 관계에 있다. 고전역학에서는 운동의 끝은 등가속도다.
자유낙하 운동의 가속도는 중력가속도는 g 다. 이제 방정식을 세워보자.
가속도 값 g 에 음수 부호가 붙은 것은 지면으로 향하는 방향을 의미한다. 좌변의 속도에 어떤 조작(연산)을 가했더니 우변의 값이 나왔다는 것이다. 그 연산이 미분이다.
미분 연산이 포함된 방정식을 '미분방정식'이라 한다. 미분 방정식을 푸는 방법을 알아보자. 변수 t의 함수 F(t)와 f(t)가 서로 미분 관계에 있다고 하자.
미분 방정식을 푸는 방법은 부정적분을 취한 후 초기조건으로 미지 상수를 구하여 함수의 원형을 회복하는 것이다. 다항함수 방정식의 해 와는 달리 미분방정식을 풀면 함수(상수함수 포함)가 얻어진다.
순간속도를 표현한 미분방정식을 풀면 속도함수를 구할 수 있다. 부정적분으로 미분기호를 벗겨내 속도함수를 구해 보자.
부정적분으로 속도 함수 v(t)를 구하였으나 미지상수 C 가 포함되어 있다. 상수 C를 구해야 함수 v(t)를 완성할 수 있다. 자유낙하 운동의 초기조건에서 v(0)=0라는 것을 알고 있다. 위에서 부정적분으로 푼 함수 v(t)는 t=0일때도 성립해야 한다.
따라서 v(t)는 다음과 같다.
문제 1.3의 목표는 공이 지면에 충돌하는 순간의 속도를 구하는 것이다. 자유낙하 하는 공의 속도는 앞서 구한 대로 시간의 함수다. 공이 지면에 닿을 때까지 걸린 시간을 속도 함수 v(t)에 대입하면 충돌 속도가 된다.
이동한 거리를 알고 있다. 바로 높이 h 다. 그리고 속도의 함수도 구했다. 그렇다면 이동시간을 구할 수 있지 않을까?
시간 = 거리/속도
그런데, 공의 지면충돌 속도를 알기 위해 시간을 구하려고 속도의 함수를 활용 한다. 뭔가 이상하지 않은가?
이동거리를 이동시간으로 나눈 속도는 등속도 운동의 경우 이거나 가속도 운동인 경우라도 평군속도를 의미한다. 등가속도 운동인 자유낙하에 등속도의 개념을 적용하면 모순이다. 등속도운동 이라면서 시작속도와 충돌속도를 구분하는 것은 모순이다. 그리고 평균속도란 이동거리와 소요시간을 모두 알고 있을 때 계산하는 것이지 순간속도인 충돌속도를 의미하는 것이 아니다.
자유낙하는 등속운동이 아니다. 등가속도 운동 이다. 공이 지면으로 떨어지며 시시각각 속도가 변한다. 이는 이동거리가 시간의 함수라는 사실이다. 이를 y(t)라고 표현하자. 순간적인 높이 변화가 순간속도다. 시간에 대한 높이의 순간변화를 미분방정식으로 기술하고 이를 부정적분으로 풀어보자.
상황을 기술하고 그로부터 미분방정식을 세우며, 부정적분을 통해 거리함수를 구하는 과정은 속도함수를 구하는 과정과 동일 하다. 다만 대상이 속도에서 거리로 바뀌었다. 거리의 초기조건 y(0)=h 라는 점도 유의하자. 아울러 공이 지면에 충돌한 순간의 높이는 y(T)=0이다. 시간 T는 높이 h에서 지면까지 공이 등가속도 운동을 하며 이동했을 때 걸린 시간이다. 시간 T는 결국 문제에서 모두 알려진 h와 g로 나타낼 수 있게 되었다. 이제 T를 속도함수 v(t)에 대입하면 충돌 순간의 속도, 즉 충돌 속도를 구할 수 있다.
높이함수 y(t)의 그래프는 낙하운동의 특징을 한눈에 보여준다. 시작속도 v(0), 충돌속도 v(T), 순간속도 v(t) 그리고 평균 속도의 의미를 살펴보자.
결국 자유낙하 운동은 시간에 대한 높이 함수 y(t)로 모두 설명될 수 있다. 미적분으로 등가속도 자유낙하 운동의 속도, 위치를 설명 할 수 있게 되었다. 이 과정에서 초기조건, 충돌조건들이 활용 되었다는 점도 기억하자.
위에서 본 대로 자유낙하 운동은 결국 위치의 2차 미분 방정식이다. 사실 일반 상대론도 2차 미분방정식에 불과 하다는 것도 미리 밝혀둔다.
미분 방정식을 풀기 위해 부정적분 하였다. 이때 초기조건의 활용에 유의하자. 움직이던 물체가 낙하할 수도 있다. 아래로 공을 던질 수도 있는 것 아닌가. 그렇다면 이때의 초기속도는 v(0)=0 이 아니다. 지상에서 대포를 쏘아올릴 수도 있다. 이때에도 포탄에 중력이 작용한다. 시간이 지나면 지면으로 떨어진다. 포탄과 자유낙하 하는 공의 운동은 모두 중력의 영향을 받는다. 단지 초기조건이 다를 뿐이다.
미분 방정식으로 자유낙하하는 공의 운동을 분석해봤다. 특히 위치의 함수 y(t) 에서 지면 충돌 시간을 구하고 이를 다시 속도 v(t)에 적용할 때 제곱근을 다뤘다. 곱하기 나누기 그리고 제곱근을 취하는 수리적 규칙을 잘 알고 있더라도 수식을 다룰 때 주의하자.
차원해석은 계산이 올바른지 검산해 볼 수 있는 좋은 도구다. 차원을 따질 때 적어도 속도, 가속도 그리고 높이 등 문제에서 주어지는 값들의 개별적인 차원을 명확히 알고 있어야 한다. 문제 1.3은 특정 단위를 명시하지 않고 단지 차원 만으로 기술될 수 있다. 문제가 좀더 간결하고 명료하게 드러난다.
다음글: 1.3 다시보는 적분
x
(차원으로 기술한 문제 1.3)
정지해 있던 공이 높이 h 에서 낙하하여 v 의 속도로 지면에 추락 하였다. 이 공의 지면 충돌 속도를 구하여라. 중력 가속도는 g 이며 공기저항은 무시한다.
각 변수 h, g, v에 각각 높이, 가속도, 속도와 같이 차원 만을 명시하고 있다. 이 차원들은 물리적 의미로부터 정의된 것이다.
문제 1.4 일상에서 친근한 계량의 차원
물리량의 나타내는 차원의 기초항목을 꼽으면 길이, 질량 그리고 시간이다. 이 개별 항목은 각각 L, M, T 로 표기한다. 일상에서 자주 접하는 에너지, 전력, 토크 등을 L, M, T 의 차원으로 나타내 보아라.
이 차원의 해석으로 복잡하게 미분방정식을 풀지 않고도 문제의 답을 구할 수 있다. 동영상을 보자.
이 동영상은 미적분을 사용하지 않고 순전히 차원해석 만으로 자유낙하 하는 물체가 지면에 충돌 할 때까지 걸리는 시간을 구하는 문제를 풀고 있다.
차원해석의 첫단계는 사건이 일어난 상황을 파악하는 것이다. 지면에서 h 인 높이에서 공이 자유낙하 하는 사건이다.
두번째 단계는 사건에 연관된 물리량과 구하려는 목적을 명확히 한다. 공이 지면에 충돌하기까지 연관된 물리량들을 나열하면, 시간, 높이 그리고 중력 가속도다. 각각의 차원을 나열해 보자. 이 문제는 지면 충돌할 때까지 걸리는 시간을 구하려는 것이다.
끝으로, 알고있는 값들의 차원을 조합하고 대수적 기교를 부려 구하려는 값의 차원을 만들어 낸다. 결국 높이 h에서 자유낙하하여 지면에 충돌하기까지 걸린 시간 t는 다음과 같다.
이번에는 가속도 g 와 높이 h 의 차원을 조합하여 속도의 차원을 유도해 내보자.
차원 해석의 결과는 정확한 값은 아니며 실제적 근사치다. 미적분으로 구한 충돌시간, 충돌속도와 차원해석으로 구한 값을 비교해 보면 상수배 차이가 난다.
차원해석의 과정에서 이뤄지는 기교는 어디까지나 수학적 원리와 물리적 정의의 범위내에서 이뤄지는 것이며 조작 되어서는 않된다. 앞서 자유낙하 속도를 차원 해석으로 구할 때 g와 h 만을 이용하였다. 높이 h는 속도의 차원을 구하기 위한 시간의 차원을 포함하고 있지 않다. 가속도 g의 차원에는 시간의 제곱 차원을 포함하고 있다. 이로부터 속도의 차원을 얻기 위해 수학적으로 다소 복잡한 제곱근의 연산을 활용 하였다. 속도의 차원을 얻기 위한 좀더 수월한 방법은 가속도의 차원에서 시간의 제곱을 상쇄해 주는 방법도 생각해 볼 수 있다.
하지만 문제에서 주어지지 않은 시간을 직접 동원할 수 없다. 주어진 h와 g를 이용해 시간을 얻기위한 차원해석을 한번 더 거쳐야 한다. 결국 동일한 결과를 얻을 수 있긴 하지만 처음보다 복잡한 과정이 되었다.
문제 1.5 수직으로 던져올린 공
공을 수직으로 속도 v0로 던져 올렸다. 이 공이 다시 잡게될 때까지 걸리는 시간을 차원 해석 방법으로 구하라. 공기의 저항은 무시한다. 그리고 이 운동을 미분 방정식으로 풀어 정확한 시간을 구하라. 차원 해석의 방법으로 구했을 때와 차이가 난다면 그 이유는 무엇인지 설명 해보자.
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(연습 1.3) 플랑크상수 h의 차원을 구해보자
(연습 1.4) 유량(flow)의 차원을 구해보자.
(연습 1.5) 속도 v 로 움직이는 물체가 반경 r의 원운동을 한다. 구심(또는 원심) 가속도의 차원을 구하라.
(연습 1.6) 길거리로 나가보자. 20층 높이에서 떨어뜨린 동전이 지면에 충돌할때 속도를 차원 해석 방법으로 구하라.
(연습 1.7) 곡률반경이 2km(실제 철로의 표준반경)인 철로위를 고속(초당 60미터)으로 달리는 열차가 받는 원운동에 의한 구심 가속도는 중력 가속도에 비해 몇배가 될까?
(연습 1.8) 수직으로 던진 공은 다시 제자리로 떨어진다. 던진 속도가 v(0)일 때 상승 정점의 높이는 얼마인가? 제자리로 떨어질 때 까지 걸리는 시간을 계산하라.
(연습 1.9) 지면에서 각도로 쏘아올린 포탄의 운동을 기술하여 보자.
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"단위"와 "차원"의 이해를 넓혀보자. 다음은 무게를 가진 물체가 높은 곳에서 아무런 방해없이-공기저항도 없다- 떨어지는 '자유낙하(free fall)'에 관한 문제를 기술한 글이다.
문제 1.3 미적분으로 풀기
정지해 있던 공이 높이 h 미터에서 낙하하여 초당 v 미터의 속도로 지면에 추락 하였다. 이 공의 지면 충돌속도를 구하여라. 중력가속도는 초의 제곱분의 g 미터 이며 공기저항은 무시한다.
문제의 기술에서 값 h, v, g와 "단위"를 굵은 글씨로 나타내었다. 단위는 모두 미터 이다. "차원"을 무시하고 단지 "단위"만을 기술하는 것은 중대한 오류를 야기한다. 높이는 미터라는 단위이지만, 속도는 시간 당 미터로 차원으로 나타내어야 한다. 가속도 또한 시간제곱 당 미터로 표현되는 차원이다. 차원을 감안하지 않고 문제를 푸는 것은 마치 한 팔을 뒤로 묶고 전장에 나서는 것과 같다. 차원은 길거리에 나가 [마구잡이]로 수학을 써먹을 때 사용할 수 있는 중요한 도구중 하나다.
다시 문제로 돌아가 보자. 자유낙하 하는 물체의 운동이다. 어느 높이에서 질량을 가진 물체를 놓으면, 이 물체는 방해받지 않고 떨어진다. 이 자유낙하라는 사건이 벌어진 상황(원인)을 살펴보자.
(1) 떨어지는 원인은 중력이 끌어 당기기 때문이다. 중력가속도가 작용한다.
(2) 시간이 지나면 높이가 달라진다. 변위(높이)는 시간의 함수다. y(t)라 하자.
(3) 초기조건이 있다.
공이 지면에 닿는 순간 이 물체의 속도를 구하는 문제다. 사건의 초기조건부터 따져보자. 초기조건이란 사건이 시작된 시간, 즉, 공을 놓는 순간을 t=0 으로 하였을 때 공의 상태를 말한다. 자유낙하의 초기조건은 다음과 같다.
(i) 공은 높이 y(0) = h에 있다.
(ii) 공은 정지해 있었으므로 속도는 v(0) = 0 이다.
공을 놓자마자 속도를 내며 떨어진다. 공의 움직임(현상)을 순간적으로 포착하여 운동을 파악(방정식을 얻는 것)하기로 한다. 순간적인 변화를 기술하는 방법은 이미 알고 있는 대로 미분이다.
순간적인 속도의 변화를 의미하는 것이므로 함수 f(t)에 시간에 대한 속도의 함수 v(t)를 적용해 보자.
d/dt 는 lim... 로 표현해 놓기 번거로우니 줄여서 표기한 것으로 미분기호(연산자)라 한다. 이것은 미분의 개념으로 운동의 순간적인 현상을 단지 기술한 것 뿐이다. 운동을 파악하기 위해서 방정식이 있어야 한다. 방정식의 의미를 잠시 짚어보고 가자.
변수, 항등식, 방정식
여기에 변수 x 가 있다. 이것은 그저 변수의 선언일 뿐이다. 변수의 속성에 맞는 무슨 값이든 대입할 수 있다.
다음은 항등식이다. 좌변과 우면이 완벽히 동일하다. 변수 x에 무슨 값을 넣든 좌우는 같다. 항상 같다. 그래서 항등식이다.
이제 방정식이다. 좌변과 우변이 다르다. 등호의 좌변에 어떤 연산(아래의 예에서는 3 곱하기)을 하였더니 우변과 같은 값이 나오는 관계를 나타낸 것이다. 등호를 만족 시킬 수 있는 변수 x 의 값은 유한하다. 1차 방정식 3x-2=0을 만족하는 변수 x는 단 한개다.
등호를 만족 시키는 변수 x 를 구하는 행위를 방정식을 풀어 해를 구한다고 한다. 곱셈과 나눗셈은 서로 역관계에 있는 연산이다. 나눗셈을 써서 방정식에서 곱셈의 조작(연산)을 풀어 내도록 하자.
결국 방정식의 해를 구했다.
좀더 복잡한 2차 방정식을 보자.
이 방정식을 풀어 등호를 만족 시키는 변수 x를 구해보자. 이차 방정식을 만족하는 해는 최대 두개다. 이 방정식을 만족하는 값 x를 직접 구하기는 어렵다. 두개의 일차 방정식으로 묶어보자. 인수분해라는 것이다.
이차 방정식이 두개의 일차 방정식의 곱이 되었다. 일차 방정식이 성립하는 값 x를 구하자. 곱셈만 풀어주면 되는 일차방정식의 해를 구하기는 쉽다.
이 이차 방정식은 두개의 해를 갖는다.
방정식과 방정식 풀기 그리고 해의 개념을 이해했다.
다시 자유낙하 문제로 돌아가 보자. 속도를 알고 싶은데 방정식이 있어야 풀던 말던 해볼 것이 아닌가.
자유낙하 문제에서 중력 가속도가 g로 주어졌다. 가속도와 속도는 미분 관계에 있다. 고전역학에서는 운동의 끝은 등가속도다.
자유낙하 운동의 가속도는 중력가속도는 g 다. 이제 방정식을 세워보자.
가속도 값 g 에 음수 부호가 붙은 것은 지면으로 향하는 방향을 의미한다. 좌변의 속도에 어떤 조작(연산)을 가했더니 우변의 값이 나왔다는 것이다. 그 연산이 미분이다.
미분 연산이 포함된 방정식을 '미분방정식'이라 한다. 미분 방정식을 푸는 방법을 알아보자. 변수 t의 함수 F(t)와 f(t)가 서로 미분 관계에 있다고 하자.
미분 방정식을 푸는 방법은 부정적분을 취한 후 초기조건으로 미지 상수를 구하여 함수의 원형을 회복하는 것이다. 다항함수 방정식의 해 와는 달리 미분방정식을 풀면 함수(상수함수 포함)가 얻어진다.
순간속도를 표현한 미분방정식을 풀면 속도함수를 구할 수 있다. 부정적분으로 미분기호를 벗겨내 속도함수를 구해 보자.
부정적분으로 속도 함수 v(t)를 구하였으나 미지상수 C 가 포함되어 있다. 상수 C를 구해야 함수 v(t)를 완성할 수 있다. 자유낙하 운동의 초기조건에서 v(0)=0라는 것을 알고 있다. 위에서 부정적분으로 푼 함수 v(t)는 t=0일때도 성립해야 한다.
따라서 v(t)는 다음과 같다.
문제 1.3의 목표는 공이 지면에 충돌하는 순간의 속도를 구하는 것이다. 자유낙하 하는 공의 속도는 앞서 구한 대로 시간의 함수다. 공이 지면에 닿을 때까지 걸린 시간을 속도 함수 v(t)에 대입하면 충돌 속도가 된다.
이동한 거리를 알고 있다. 바로 높이 h 다. 그리고 속도의 함수도 구했다. 그렇다면 이동시간을 구할 수 있지 않을까?
시간 = 거리/속도
그런데, 공의 지면충돌 속도를 알기 위해 시간을 구하려고 속도의 함수를 활용 한다. 뭔가 이상하지 않은가?
이동거리를 이동시간으로 나눈 속도는 등속도 운동의 경우 이거나 가속도 운동인 경우라도 평군속도를 의미한다. 등가속도 운동인 자유낙하에 등속도의 개념을 적용하면 모순이다. 등속도운동 이라면서 시작속도와 충돌속도를 구분하는 것은 모순이다. 그리고 평균속도란 이동거리와 소요시간을 모두 알고 있을 때 계산하는 것이지 순간속도인 충돌속도를 의미하는 것이 아니다.
자유낙하는 등속운동이 아니다. 등가속도 운동 이다. 공이 지면으로 떨어지며 시시각각 속도가 변한다. 이는 이동거리가 시간의 함수라는 사실이다. 이를 y(t)라고 표현하자. 순간적인 높이 변화가 순간속도다. 시간에 대한 높이의 순간변화를 미분방정식으로 기술하고 이를 부정적분으로 풀어보자.
상황을 기술하고 그로부터 미분방정식을 세우며, 부정적분을 통해 거리함수를 구하는 과정은 속도함수를 구하는 과정과 동일 하다. 다만 대상이 속도에서 거리로 바뀌었다. 거리의 초기조건 y(0)=h 라는 점도 유의하자. 아울러 공이 지면에 충돌한 순간의 높이는 y(T)=0이다. 시간 T는 높이 h에서 지면까지 공이 등가속도 운동을 하며 이동했을 때 걸린 시간이다. 시간 T는 결국 문제에서 모두 알려진 h와 g로 나타낼 수 있게 되었다. 이제 T를 속도함수 v(t)에 대입하면 충돌 순간의 속도, 즉 충돌 속도를 구할 수 있다.
높이함수 y(t)의 그래프는 낙하운동의 특징을 한눈에 보여준다. 시작속도 v(0), 충돌속도 v(T), 순간속도 v(t) 그리고 평균 속도의 의미를 살펴보자.
결국 자유낙하 운동은 시간에 대한 높이 함수 y(t)로 모두 설명될 수 있다. 미적분으로 등가속도 자유낙하 운동의 속도, 위치를 설명 할 수 있게 되었다. 이 과정에서 초기조건, 충돌조건들이 활용 되었다는 점도 기억하자.
위에서 본 대로 자유낙하 운동은 결국 위치의 2차 미분 방정식이다. 사실 일반 상대론도 2차 미분방정식에 불과 하다는 것도 미리 밝혀둔다.
미분 방정식을 풀기 위해 부정적분 하였다. 이때 초기조건의 활용에 유의하자. 움직이던 물체가 낙하할 수도 있다. 아래로 공을 던질 수도 있는 것 아닌가. 그렇다면 이때의 초기속도는 v(0)=0 이 아니다. 지상에서 대포를 쏘아올릴 수도 있다. 이때에도 포탄에 중력이 작용한다. 시간이 지나면 지면으로 떨어진다. 포탄과 자유낙하 하는 공의 운동은 모두 중력의 영향을 받는다. 단지 초기조건이 다를 뿐이다.
미분 방정식으로 자유낙하하는 공의 운동을 분석해봤다. 특히 위치의 함수 y(t) 에서 지면 충돌 시간을 구하고 이를 다시 속도 v(t)에 적용할 때 제곱근을 다뤘다. 곱하기 나누기 그리고 제곱근을 취하는 수리적 규칙을 잘 알고 있더라도 수식을 다룰 때 주의하자.
차원해석은 계산이 올바른지 검산해 볼 수 있는 좋은 도구다. 차원을 따질 때 적어도 속도, 가속도 그리고 높이 등 문제에서 주어지는 값들의 개별적인 차원을 명확히 알고 있어야 한다. 문제 1.3은 특정 단위를 명시하지 않고 단지 차원 만으로 기술될 수 있다. 문제가 좀더 간결하고 명료하게 드러난다.
다음글: 1.3 다시보는 적분
x
(차원으로 기술한 문제 1.3)
정지해 있던 공이 높이 h 에서 낙하하여 v 의 속도로 지면에 추락 하였다. 이 공의 지면 충돌 속도를 구하여라. 중력 가속도는 g 이며 공기저항은 무시한다.
각 변수 h, g, v에 각각 높이, 가속도, 속도와 같이 차원 만을 명시하고 있다. 이 차원들은 물리적 의미로부터 정의된 것이다.
문제 1.4 일상에서 친근한 계량의 차원
물리량의 나타내는 차원의 기초항목을 꼽으면 길이, 질량 그리고 시간이다. 이 개별 항목은 각각 L, M, T 로 표기한다. 일상에서 자주 접하는 에너지, 전력, 토크 등을 L, M, T 의 차원으로 나타내 보아라.
이 차원의 해석으로 복잡하게 미분방정식을 풀지 않고도 문제의 답을 구할 수 있다. 동영상을 보자.
이 동영상은 미적분을 사용하지 않고 순전히 차원해석 만으로 자유낙하 하는 물체가 지면에 충돌 할 때까지 걸리는 시간을 구하는 문제를 풀고 있다.
차원해석의 첫단계는 사건이 일어난 상황을 파악하는 것이다. 지면에서 h 인 높이에서 공이 자유낙하 하는 사건이다.
두번째 단계는 사건에 연관된 물리량과 구하려는 목적을 명확히 한다. 공이 지면에 충돌하기까지 연관된 물리량들을 나열하면, 시간, 높이 그리고 중력 가속도다. 각각의 차원을 나열해 보자. 이 문제는 지면 충돌할 때까지 걸리는 시간을 구하려는 것이다.
끝으로, 알고있는 값들의 차원을 조합하고 대수적 기교를 부려 구하려는 값의 차원을 만들어 낸다. 결국 높이 h에서 자유낙하하여 지면에 충돌하기까지 걸린 시간 t는 다음과 같다.
이번에는 가속도 g 와 높이 h 의 차원을 조합하여 속도의 차원을 유도해 내보자.
차원 해석의 결과는 정확한 값은 아니며 실제적 근사치다. 미적분으로 구한 충돌시간, 충돌속도와 차원해석으로 구한 값을 비교해 보면 상수배 차이가 난다.
차원해석의 과정에서 이뤄지는 기교는 어디까지나 수학적 원리와 물리적 정의의 범위내에서 이뤄지는 것이며 조작 되어서는 않된다. 앞서 자유낙하 속도를 차원 해석으로 구할 때 g와 h 만을 이용하였다. 높이 h는 속도의 차원을 구하기 위한 시간의 차원을 포함하고 있지 않다. 가속도 g의 차원에는 시간의 제곱 차원을 포함하고 있다. 이로부터 속도의 차원을 얻기 위해 수학적으로 다소 복잡한 제곱근의 연산을 활용 하였다. 속도의 차원을 얻기 위한 좀더 수월한 방법은 가속도의 차원에서 시간의 제곱을 상쇄해 주는 방법도 생각해 볼 수 있다.
하지만 문제에서 주어지지 않은 시간을 직접 동원할 수 없다. 주어진 h와 g를 이용해 시간을 얻기위한 차원해석을 한번 더 거쳐야 한다. 결국 동일한 결과를 얻을 수 있긴 하지만 처음보다 복잡한 과정이 되었다.
문제 1.5 수직으로 던져올린 공
공을 수직으로 속도 v0로 던져 올렸다. 이 공이 다시 잡게될 때까지 걸리는 시간을 차원 해석 방법으로 구하라. 공기의 저항은 무시한다. 그리고 이 운동을 미분 방정식으로 풀어 정확한 시간을 구하라. 차원 해석의 방법으로 구했을 때와 차이가 난다면 그 이유는 무엇인지 설명 해보자.
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(연습 1.3) 플랑크상수 h의 차원을 구해보자
(연습 1.4) 유량(flow)의 차원을 구해보자.
(연습 1.5) 속도 v 로 움직이는 물체가 반경 r의 원운동을 한다. 구심(또는 원심) 가속도의 차원을 구하라.
(연습 1.6) 길거리로 나가보자. 20층 높이에서 떨어뜨린 동전이 지면에 충돌할때 속도를 차원 해석 방법으로 구하라.
(연습 1.7) 곡률반경이 2km(실제 철로의 표준반경)인 철로위를 고속(초당 60미터)으로 달리는 열차가 받는 원운동에 의한 구심 가속도는 중력 가속도에 비해 몇배가 될까?
(연습 1.8) 수직으로 던진 공은 다시 제자리로 떨어진다. 던진 속도가 v(0)일 때 상승 정점의 높이는 얼마인가? 제자리로 떨어질 때 까지 걸리는 시간을 계산하라.
(연습 1.9) 지면에서 각도로 쏘아올린 포탄의 운동을 기술하여 보자.
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